【上岸】第12篇：数学如何“背”出好成绩

“数学主要靠理解”，这个说法本身没有问题，但问题在于，它被大部分人曲解成了“数学不需要背”。

教了这么多年数学，我的观点很明确：想学好数学，靠死记硬背是不够的，但没有死记硬背，想学好数学也是不可能的。死记硬背是学好的第一步。

在具体解释这个观点之前，咱们先了解一下大脑是如何思考的。下面这张图片描述的是人的大脑如何思考的，是一个简化的大脑思考模型。

在这个简化的思考模型中，主要有三个元素，环境、工作记忆、和长期记忆。其中环境，表示的是：需要解决的问题。工作记忆，表示的是：大脑思考和学习的区域。长期记忆，表示的是：储存事实性知识的巨大仓库，比如水是无色无味的、你毕业于哪所学校、喜欢吃什么，钢琴该怎么弹等等。

用一个例子解释一下大脑的思考模型：

当我问你“北极熊是什么颜色“，你脱口而出”白色“这个答案。这个过程中，我问你”北极熊是什么颜色“是环境，是你需要解决的问题，随后你的大脑中负责学习和思考的工作记忆接收到了我的问题，并且从长期记忆中提取出了”北极熊是白色“这个知识。然后，你就脱口而出，北极熊是白色。就这样，大脑完成了他的思考过程。

理解了大脑的思考模型之后，我们再来解释：为什么死记硬背是学好的第一步。

学生在学习的过程中，会接触到大量的事实性知识，比如：北极熊是白色，戊戌变法发生在1898年等。这些事实性知识，本身并没有任何意义，只能靠死记硬背，但正是这些无意义的事实性知识构成了解决复杂问题的必要条件。怎么来理解这句话呢？

举个简单的例子：戊戌变法发生的时间、地点、人物、事件等等，这些都是事实性知识，本身并不需要理解，而且记住这些知识并不能说明你真正理解了历史。但如果让你总结概括戊戌变法的历史意义，那这些事实性知识就变成了不可或缺的元素。

因为大脑的思考是需要素材的，在思考戊戌变法的历史意义时，需要从长期记忆中提取出，戊戌变法的时间、地点、人物、事件等信息。然后，大脑中负责学习和思考的工作记忆会对这些信息进行加工整合、归纳整理。最后，才能成功输出戊戌变法的历史意义。

倘若在这个过程中，大脑不能从长期记忆中提取出相应的信息，那么大脑是不可能思考出戊戌变法的历史意义的，这就有点像巧妇难为无米之炊了。

类似的例子还有很多，比如小学要求背诵的乘法口诀表，如果低年级没有背熟练，而是用了其他的方式带代替（我见过有把乘法口诀表贴在铅笔盒上的），虽然这些方式在低年级看不出差别，甚至成了某些小朋友沾沾自喜的“小聪明”，但到了高年级，不会背诵乘法口诀表的劣势就非常明显了，因为很多新运算需要用到乘法。如果每次遇到乘法，都要停下来算出乘积，数学课对这些孩子来说就变得非常痛苦了，一旦他觉得上数学课痛苦了，数学就很难学好了。

再比如，三角形数表和长方形数表这两讲，有些小朋友学起来很痛苦，究其原因，就是没有把等差公式熟练记忆。数表只是个壳，里面装的还是等差数列，所以没有背熟公式，做个题还需要现场推导公式的孩子，很难跟上节奏。

所以说，该背的就得背，你只有真的记住了，才能解决更复杂的问题。

我自己就有过类似的经历，高中阶段学三角函数，会有非常多的公式，因为这些公式都可以自行推导，所以我基本不会主动去背下来，都是要用的时候现场推导，结果我发现自己的听课效率低了，（课上，公式都是一句话带过，不会给你时间再推导），做题速度慢了（别人一分钟就能搞定，我可能要3分钟），甚至思维都被局限了。（至于为什么会局限思维，可以看我另外一篇文章：难题不会做，可能是简单题不熟练）

所以，数学该背的还是要背，这个就有点像炒菜，“背”是在准备材料，是过程的第一步，当然只有材料还远远不够，要做出一盘精美的菜品，你还需要有精湛的厨艺，也就是你要有一定的思考能力。

对于数学来讲，我认为需要背的主要是以下几个部分。

1、概念、定理、公式

2、知识体系和框架

3、数学方法，比如几何常用的：割、补、旋、移、称、容斥、差不变等等

4、数学思想，比如：数形结合，设数法，极限思考，特值，换元等等；

5、数学中的固定搭配，比如：1001=7×11×13等等